математика онлайн комплексные числа

(1) (0; 1) (0; 1) = (-1; 0),

Из определений сложения и умножения комплексных чисел выведем следующие равенства:

Установим алгебраическую форму комплексного числа.

Арифметические операции над комплексными числами имеют те же свойства, что и арифметические операции над действительными числами.

Например, z = (2; 5) и w = (3; 1), то zw = (2 3 5 1; 2 1 + 5 3) = (6 5; 2 + 15) = (1; 17).

Произведение комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) комплексное число (ac bd; ad + bc).

Например, (9; 10) (8; 12) = (9 8; 10 12) = (1; -2).

Разность комплексных чисел z и w такое число u, что z = w + u. Вычитание комплексных чисел подчиняется правилу: (a; b) (c; d) = (a c; b d).

Комплексный нуль это пара (0; 0). Число, противоположное числу z = (a; b) это число (-a; -b), которое обозначается как -z.

Например, (2; 7) + (3; -4) = (2 + 3; 7 4) = (5; 3).

Сумма комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) это комплексное число (a + c; b + d).

Над комплексными числами можно проводить арифметические операции сложение, вычитание, умножение.

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

Всякая упорядоченная пара (a; b) действительных чисел a и b называется комплексным числом.

Если обратиться к геометрии, то действительные числа представлены на координатной прямой точками: у каждого действительного числа есть одна точка прямой («образ» действительного числа). Верно и обратное: у каждой точки координатной прямой есть одно действительное число. Получается, что вся координатная прямая заполнена образами действительных чисел, т.е. места для новых чисел на ней не остается. Предположим, что геометрические образы новых чисел нужно искать на плоскости, а отнюдь не на прямой. Логично, что каждая точка М координатной плоскости ху может быть отождествлена с координатами этой точки. Поэтому целесообразно в качестве новых чисел, которые называют комплексными, ввести упорядоченные пары действительных чисел.

Для счета предметов мы используем натуральные числа. Необходимость в делении и вычитании способствовала появлению дробных чисел, нуля и отрицательных чисел. Все эти операции актуальны для множества действительных чисел.

Валентин В., онлайн репетитор по математике

Комплексные числа

Занимайтесь с лучшими репетиторами через Интернет!

Комплексные числа